TEORI ANTRIAN (QUEUEING THEORY)

            Teori Antrian dalam bahasa inggris disebut dengan waiting line theory, atau queuing theory. Teori antrian pertama kali diketemukan dan dikembangkan oleh ahli matematika dan insinyur berkebangsaan Denmark yang bernama A.K Erlang pada tahun 1909. Dia mengembangkan model antrian untuk menentukan jumlah yang optimal dari fasilitas telepone switching yang digunakan untuk melayani permintaan yang ada. Penggunaan model ini makin meluas tepatnya mulai sejak akhir perang dunia ke-II. Sampai saat ini, waiting line theory mempunyai aplikasi yang luas untuk alat operasi perusahaan atau manajemen.

Persoalan-persoalan yang dapat diselesaikan dengan teori antrian adalah meliputi bagaimana perusahaan dapat menentukan waktu dan fasilitas yang sebaik-baiknya agar dapat melayani konsumen atau langganan dengan efisien. Di dalam hal ini tentu saja diperhitungkan antara ekstra biaya yang dikeluarkan perusahaan untuk menambah fasilitas service baru dengan kerugian-kerugian konsumen karena harus menunggu apabila tidak diadakan penambahan fasilitas service yang baru.

Dengan demikian, yang menjadi tujuan utama teori antrian ini adalah mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang disebabkan oleh adanya waktu menunggu ( Pangestu Subagyo,2000,264 ). Dengan kata lain tujuan dasar teori antrian adalah untuk meminimumkan total dua biaya, yaitu biaya langsung penyediaan fasilitas pelayanan dan biaya tidak langsung yang timbul karena para konsumen menunggu untuk dilayani.

Teori antrian sendiri tidak langsung memecahkan persoalan-persoalan diatas. Walaupun begitu, teori antrian menyumbangkan informasi penting yang diperlukan untuk membuat keputusan dengan cara memprediksi beberapa karakteristik dari baris penungguan. Model antrian yang akan dibahas merupakan peralatan penting untuk sistem pengelolaan yang menguntungkan dengan menghilangkan antrian.

Biasanya antrian terlihat setiap harinya pada:

1.    Deretan mobil yang mengantri untuk mengambil tiket atau membayar jalan tol.

2.    Antrian pengambilan DNU dan DNS mahasiswa Gunadarma di loket 1 BAAK.

3.    Antrian dalam pembelian tiket di bioskop.

4.    Menunggu pesanan pada suatu restoran.

5.    Antrian pesawat di lapangan udara.

6.    Peralatan yang menunggu diservis.

7.    Kedatangan kapal di suatu pelabuhan.

8.    Antrian pembayaran listrik.

Tujuan Antrian

Tujuan dasar model-model antrian adalah untuk meminimumkan biaya total, yaitu:

1.    Biaya langsung

            Biaya karena menambah fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan

2.    Biaya tidak langsung

            Biaya karena mengantri (biaya yang timbul karena para individu harus menunggu untuk dilayani).

Elemen –Eemen Pokok dalam Sistem Antrian

Model antrian paling tidak memerlukan 3 jenis data, yaitu:

1)    Tingkat kedatangan rata-rata langganan untuk mendapatkan pelayanan.

2)    Tingkat pelayanan rata-rata.

3)    Jumlah fasilitas pelayanan.

Komponen dasar dalam sistem Antrian

1.    Populasi masukan (input)

Yaitu jumlah total unit yang memerlukan pelayanan dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan potensial. Input dapat berupa populasi orang, barang, komponen atau kertas kerja yang dating pada system untuk dilayani. Asumsi yang digunakan untuk input dalam antrian adalah terbatas.

2.    Arriver pattern (pola kedatangan)

       adalah dengan cara bagaimana individu-individu dari populasi memasuki system. Untuk pola kedatangan menggunakan asumsi distribusi probabilitas poisson, yaitu salah satu dari pola-pola kedatangan yang paling umum bila kedatangan didistribusikan secara random. Ini terjadi karena distribusi poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah besar variable-variabel random mempengaruhi tingkat kedatangan. Bila pola kedatangan individu-individu mengikuti suatu distribusi poisson, maka waktu antar kedatangan atau inter arriver time (waktu kedatangan setiap individu) adalah random) dan mengikuti suatu distribusi eksponential.

3.    Disiplin antrian

Disiplin antrian menunjukan pedoman keputusan yang digunakan untuk menyeleksi individu-individu yang memasuki antrian untuk dilayani terlebih dahulu.

Macam-macam disiplin antrian:

a.    First come first served (FCFS)

b.    Shortest operation (service) time (SOT)

c.    Last come first served (LCFS)

d.    Longest operating time (LOT)

e.    Service in random order (SIRO)

f.     Emergency first or critical condition first.

4.    Kepanjangan antrian

Kepanjangan antrian ada yang terbatas dan tidak terbatas.

5.    Tingkat pelayanan

Waktu pelayanan (sevice time) adalah waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatu system. Apabila waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial atau distribusi acak, waktu pelayanan (unit/jam) akan mengikuti ditribusi poisson.

6.    Keluaran (exit)

Sesudah individu selesai dilayani, maka ia akan keluar system.

Komponen dasar model antrian Sistem Komputer :

·         Server secara umum digunakan sebagai model resource yang diminta oleh suatu job tertentu

·         Job dibuat oleh sumber atau berada dalam model antrian sejak dibuat.

·         Setiap server dapat melayani terbatas pada maksimum jumlah job yang dapat dilayaninya dalam waktu yang bersamaan. Ini sering disebut jumlah channel server. Job yang mendapatkan server sedang sibuk mesti menunggu dalam antrian sampai gilirannya tiba. Setiap server memiliki paling tidak satu antrian, dan istilah pusat layanan sering digunakan untuk mengindikasikan server dan antriannya. Dalam beberapa kasus, pusat layanan terdiri dari beberapa server. Job secara umum meminta perhatian dari server untuk sejumlah waktu tertentu (yang disebut service time) dan bergabung dalam pusat layanan secara instan yang disebut waktu kedatangan job dalam pusat layanan tersebut.

Model Antrian didefinisikan oleh :

·         Sumber

·         Pusat layanan (service center)

·         Interkoneksi. Yang menetapkan path tertentu tempat suatu job diizinkan melewatinyadari pusat layanan ke pusat layanan lain.

·         Ini adalah tipe, terbatas atau tidak terbatas. Jika source terbatas, maksimum jumlah job yang dibuat oleh source dalam suatu model mengandung batas atas tertentu.

·         Distribusi interval maing-masing job yang berturut-turut (waktu interarrival).

·         Permintaan setiap job untuk dilayani oleh setiap pusat layanan terdapat dalam model  jika setiap tipe permintaan didistribusi secara bersamaan untuk semua job perlu dipertimbangkan permintaan itu menjadi salah satu karakteristik hubungan antara pusat layanan, bukan sekedar sumber saja

Aturan Umum untuk Antrian

Variabel kunci yang digunakan dalam analisis antrian :

·         t adalah waktu interarrvial, ini adalah waktu antara dua kedatangan yang berturut-turut.

·         λ adalah mean rate kedatangan = 1/E[t]. dalam beberapa sistem, ini dapat berfungsi pada state sistem. Sebagai contoh mean ini dapat tergantung pada jumlah job yang sudah berada dalam suatu sistem.

·         s adalah waktu layanan (service) per job.

·         µ adalah mean rate layanan per server = 1/E[s]. Total rate layanan untuk m server adalah mµ.

·          n adalah jumlah job dalam sistem. Ini kadangkala disebut juga panjang antrian, termasuk job yang sedang diterima untuk dilayani dan menunggu dalam antrian.

·         nq adalah jumlah job yang sedang menunggu untuk menerima layanan. Ini selalu lebih kecil dari n, karena ini tidak termasuk job yang sedang menerima layanan.

·         ns adalah jumlah job yang menerima layanan.

·         r adalah waktu respon atau waktu dalam sistem. Waktu ini termasuk waktu menunggu layanan dan waktu ketika menerima layanan.

·          w adalah waktu tunggu, yaitu interval waktu antara waktu kedatangan dan dimulainya layanan instan.Semua variabel di atas kecuali λ dan µ adalah variabel acak(random). Sebagian besar model akan mengalami beberapa kondisi sebagai berikut :

1.    Kondisi Stabil

Untuk mendapatkan kondisi ini, mean rate kedatangan harus lebih rendah dari

mean rate layanan :

Sistem akan tidak stabil, jika job bertambah secara kontinyu dan menjadi tak hingga. Kondisi ini tidak dapat diterapkan pada populasi yang terbatas dan untuk buffer sistem yang terbatas. Dalam populasi sistem yang terbatas, panjang antrian juga terbatas, maka dari itu sistem tidak mungkin menjadi tidak stabil. Dan juga jika buffer sistem yang terbatas pula selalu stabil sejak kedatangan selesai, ketika jumlah job dalam sistem melebihi jumlah buffer, misalnya suatu kapasitas sistem.

2.    Jumlah dalam Sistem vs Jumlah dalam antrian

Jumlah job dalam sistem :

Jika rate layanan pada setiap server tidak tergantung pada jumlah antrian.

3.    Jumlah Vs Waktu.

Jika job tidak hilang akibat kekurangan tempat di buffer, mean jumlah job dalam sistem berhubungan dengan mean waktu.

Pernyataan ini dikenal dengan hukum Little. Dalam buffer sistem yang terbatas, hukum ini dapat digunakan untuk mendapatkan rate kedatangan yang efektif, suatu rate dari job yang secara aktual masuk ke dalam sistem dan menerima layanan sistem.

4.    Waktu dalam sistem vs waktu dalam antrian.

Waktu yang dikeluarkan job dalam antrian sama dengan penjumlahan waktu menunggu dalam antrian dan waktu menerima layanan sistem.

Antrian pada jaringan (Network of queue)

Dengan mempertimbangkan mode jaringan yang ditandai oleh label 1,2,.. N. Kita asumsikan aturan rute yang ditempuh secara random, ketika meninggalkan suatu node, job mode selanjutnya akan datang, atau memilih meninggalkan jaringan dengan pemilihan cara secara acak. Job meningglkan node i menuju ke node j dengan probabilitas qij, dan meninggalkan jaringan dengan probabilitas qj0.

Asumsi kedua, node ke- i (i = 1, 2, ... N) mengandung ri yang identik dengan GI server yang berkerja secara paralel, dimana waktu layanan tidak tergantung pada penyebaran variabel acak dengan mean waktu layanan Si; Setiap waktu job dimasukkan kembali, permintaan layanan dipilih kembali dengan suatu mekanisme pengambilan sampel secara acak. Banyaknya rate kedatangan ke dalam node dinyatakan dalam λi. Semua model disumsikan konstan, ini adalah waktu invariant.

Terdapat 2 Tipe jaringan, yaitu :

·         Jaringan terbuka (Open Network), dalam model ini, job masuk ke jaringan dari kelompok tak hingga di luar sistem tersebut. Misalnya γi> 0 untuk paling tidak node ke- i, dan setiap job yang pada saat itu keluar, misalnya dari setiap node paling tidak menjalani satu rute di jaringan menuju j dimana qj0 > 0. Kemudian, jumlah job i dalam jaringan menjadi bermacam-macam.

·         Jaringan tertutup (Closed Netwok). Model ini memiliki nilai tetapr K dari job yang selalu bersirkulasi dari suatu node ke node lainnya. Tidak ada yang baru yang akan masuk ke dalam jaringan, dan tidak ada yang akan keluar. Dalam sistem ini γi = qi0 = 0 untuk semua i.

Jaringan terbuka

            Aliran inputke node i disusun oleh pola eksogen alitan kedatangan rate γi dan dalam ukuran yang tepat bagi setiap aliran kedatangan dari node 1, 2, ...n. Jiga throughput node i adalah λi, dan tidak akan ada peningkatan job pada setiap node.

Kemudian untuk setiap node dalam network yang stabil, persamaan ini dikenal dengan persamaan trafik.

Kumpulan sistem antrian dari antrian jaringan (queueing network (QN)).

·         Feedforward Queueing network

·         Jackson Queueing Network

·         Gordom dan Newell Queueing Network

·         BCMP Queueing Network.

·         Local Balance Queueing Network

·         Buzen's Queueing Network

Jackson Queueing Network. Dalam model ini, kita asumsikan antrian didahulukan pada setiap server. Output antrian akan diberikan pada antrian lainnya, setelah menerima layanan tertentu. Model ini dapt menganalisa dengan menggunakan proses birth-death multidimensional.

Teori Jackson

            Jika persamaan dalam sistem menyeimbangkan aliran transaksi yang masuk dan meninggalkan prosesor sebagai suatu hasil tertentu, dan jika hasil tersebut juga dalam keadaan yang stabil, maka produk tersebut baik.

Queueing Theory atau Teori Antrian adalah teori yang menjelaskan bagaimana fenomena antrian terjadi dan kemudian mencari solusi optimal terhadapfenomena tersebut. Fenomena Antrian pertama kali diamati oleh Agner Krarup Erlang^[1] Meskipun fenomena awal antrian itu diamati di kantor telp manual pada abad 18.

Antrian terjadi kaena sistem sedang sibuk. Mereka yang antri adalah mereka yang mengharpkan proses dalm sistem. Ada kemungkinan populasi pelanggan sistem datang dan melihat antrian lalu pergi atau balking tidak diprhitungkan sebagai antri. Oleh karena itu, mereka yang ada dalam Sistem Antrian adalah mereka yang sedang antri dan mereka yang sedang dalam proses. Ada dua variabel yang terlibat dalam Teori Antrian, yaitu λ atau tingkat kedatangan, dan μ atau tingkat pelayanan. Asumsi: Fenomena antrian terjadi ketika λ > μ. Bila kondisi ini tidak terpenuhi maka antrian tidak terjadi. Memang tidak seluruh waktu akan tterjadi antrian, namun seperti digambarkan oleh proses Poisson diatas, selalu ada traffic jam pada interval waktu tertentu. Maka, tingkat kedatangan atau λ mengikuti proses Poisson adalah asumsi yang lain. 

 Ada empat  konfigurasi model antrian:

1. Fasa Tunggal Kanal Tunggal atau Single Phase Single Channel
2. Fasa Tnggal Multi Kanal atau Single Phase Multi Channel
3. Multi Fasa Kanal Tunggal atau Multi Phase Sngle Channel
4. Multi Fasa Multi Kanal atau Multi Phase Multi Channel

Fenomena antrian, mngin sering mngundang penjelasan mengenai teori dasar terbentuknya antrin. Erlang menggunakan proses Poisson ntuk memodel terbentuknya antrian

Arrival rate atau tingkat kedatangan, dengan notasi λ terdistribusi secara Poisson. Dalam model di atas, tampak waktu yang diobsrvasi di bagi ke dalam beberpa interval waktu yang sama. Ternyata, ada interval waktu yang kosong dan ada yang banyak penggunanya. Demikianlah fenomena yang diatamti dalam fenoena telp yang melahirkan Teori Antrian. Fenomena serpa juga terjadi pada traffic light sekitar jam 07:00 namun sangat sepi pada malam hari biasa.

Berikut adalah gambaran bagaimana λ diturunklan dari Poisson process.

artinya, setiap proses selesai, dan sebagai konsekuensinya, ada satu pelanggan yang keluar,  maka akan ada satu pelanggan yang masuk. Demikian seterusnya, sistem berjalan.

Proses pada antrian:

1.    Proses Stochatic atau proses Discrete-state atau continous state proses ini memiliki bilangan nilai terbatas atau dapat di hitung sebagai contoh jumlah job dalam sisterm n (t) hanya dapat menggunakan nilai 0,1,...n waktu tunggu di lain pihak dapat mengambil semua nilai pada garis hitung nyata. maka proses ini merupakan proses yang berkelanjutan. Proses Discrete stochastic sering pula di sebut rantai stochastic.

2.    proses Markov Jika state pada masa yang akan datang dari proses itu tidak tergantung pada masa yang telah lalu dan hanya tergantung pada masa sekarang saja, proses ini disebut Proses Markov. Pengetahuan state proses pada masa sekarang ini harus memadai. Proses discrete state Markov disebut rantai Markov. Untuk memprediksi proses Markov selanjutnya yang ada dimasa datang diperlukan pengetahuan state yang sedang berlangsung saat ini. Tidak dibutuhkan pengetahuan berapa lama proses terjadi di masa sekarang ini. Hal ini memungkinkan jika waktu state menggunakan distrtibusi eksponensial (memoryless). Ini akan membatasi aplikabilitas proses Markov. Rantai Markov, merupakan state diskrit proses Markov, adalah proses stochastic X(t) dengan state S0, S1, ... dan lagi probabilitas pada waktu, tk+1 pada state Si hanya tergantung pada waktu state tk untuk setiap rangkaian waktu instan t1, t2, ... , tk+1 dimana t1 < t2 < ... < tk+1.

3.    Proses birth-death adalah kasus khusus dari proses Markov dimana transisi dari suatu state state Sn diizinkan hanya untuk state disekelilingnya, yaitu Sn+1, Sn, Sn-1. Ini adalah pembatasan yang amat tegas yang mengizinkan kita untuk datang pada solusi dengan form tertutup. Oleh karena itu, dengan memberikan state Sn pada waktu t, state pada (t+dt) jatuh ke dalam suatu kasus :

·         Tidak ada kesempatan yang dapat terjadi

·         Dari state Sn-1 ke Sn, suatu kejadian birth

·         Dari state Sn+1 ke Sn, suatu kejadian death

Berikan :

·         λn sebagai rata-rata birth rate

·          µn sebagai rata-rata death rate

Dalam mode ini, asumsi dua nilai tidak pada perbedaan waktu , nilai tersebut hanya didefinisikan oleh besarnya populasi n.model ini disebut waktu continyu rantai markov homogen dari type birth-death.

Sistem Birth Death Dalam keseimbangan

Dua perbedaan proses dasar :

·         Proses Antrian. Proses yang dikelompokkan berdasarkan unit layanan dalam membuat antrian untuk transaksi yang datang. Deskripsi matematis dari proses ini berdasarkan rate kedatangan (λ) dan rate proses (µ:).

·         Proses Birth death. Proses ini dikelompokkan berdasarkan rate birth(kelahiran) dalam populasi (λ) dan rate death dalam populasi (µ) ketika ukuran populasi berubah.

Untuk sistem jaringan umum, distribusi berkaitan dengan setiap node yang dapat mengambil semua form tes. Tetapi, untuk memformulasi model teori antrian sebagai representasi dari sistem real, perlu ditentukan node-node distribusi. Pemilihan dapat diambil berdasarkan :

·         Representasi realistik dati sistem antrian secara fisik.

·         Sistem representasi secara matematis.

Perilaku dasar state sistem antrian sangat ditentukan oleh 2 properti statistik :

·         Sistem input, probabilitas distribusi transaksi waktu interarrival

·         Sistem layanan, probabilitas distribusi waktu pelayanan yang dibutuhkan oleh suatu transaksi

Daftar pustaka

http://nui-duniamahasiswa.blogspot.com/2012/03/teori-antrian-queueing-theory.html

http://fe.uajy.net/fs/as/?p=3933

http://tazmaniabenz.wordpress.com/2010/04/14/konsep-konsep-dasar-teori-antrian/file:///C:/Users/Main/Downloads/BAB%205%20-%20Teori%20Antrian%20(1).pdf